Родился 15 августа 1925 года  в селе Верх-Камышенка Сорокинского района Алтайского края в крестьянской семье. Закончив школу-семилетку, работал в колхозе. После смерти роди­телей проживал у сестры в поселке Бачаты Беловского района. Окончил школу ФЗО в г. Белово.

Александр Чирков призван в Красную Армию Сорокинским РВК в январе 1943 года. В боях Великой Отечественной с августа 1943года. Воевал на Центральном фронте. Пулеметчик 4-й стрелковой роты 218-го гвардейского стрелкового полка 77-й гвардейской Черниговской стрелковой дивизии.

17 сентября 1943г. в боях за деревню Киреевка  Сосницкого района Черниговской области младший сержант Чирков из своего пулемёта уничтожил две огневые точки противника и убил пять вражеских солдат и офицеров. За совершенный подвиг А.Чирков был награжден медалью «За отвагу».

В ночь с 26 на 27 сентября  1943 года  пулемётчик Чирков с группой бойцов первым приблизился к вражескому берегу при переправе через Днепр. Вра­жеский снаряд разбил лодку, но бойцы вплавь добрались до берега и вступили в бой. Гитлеровцы яростно контратаковали, пытаясь сбросить наш десант в воду. В рукопашной схватке был ранен, но не покинул поле сражения. В этом бою он уничтожил 18 немецких солдат.

Контратака противника была успешно отбита. Своими активными действиями гвардии младший сержант А.А.Чирков способствовал удержанию плацдарма.

В последующих боях Александр Чирков был тяжело ранен и в декабре 1943 года демобилизован по ранению.

Указом Президиума Верховного Совета СССР 15 января 1944 года Александру Афанасьевичу Чиркову присвоено высокое звание Героя Советского Союза.

А.А.Чирков вернулся на родину. 16 июля 1944 года Александр Чирков умер от последствий полученных ранений в возрасте восемнадцати лет. Похоронен в селе Верх-Камышенка.

В Заринске и в Верх-Камышенке установлены бюсты Героя. В честь Александра Чиркова названа улица в Заринске. Именем Героя названа школа в селе Верх-Камышенка и школа №2 в Заринске. Имя Героя Советского Союза Александра Афанасьевича Чиркова увековечено на Мемориале в городе Барнаул.