Родился 19 апреля 1923 года в поселке Забайкал Толочинского района  Витебской области в семье крестьянина. С 1926 года семья переезжает в Сибирь, поселок Горный Бачатского сельского совета Беловского района. Евгений Телешев закончив 5 классов Старобачатской школы, работал в колхозе «Трудовой крестьянин».

В декабре 1941 года Телешев призван в Красную Армию Беловским РВК. В боевых действиях принимал участие с мая 1942 года. Командир отделения связи 835-го стрелкового полка 237-й стрелковой дивизии 40-й армии, сержант.

Сержант Телешев в ночь на 24 сентября 1943 года одним из первых под ураганным огнем противника переправился через Днепр в районе села Гребени (Киевская область). Связисты под управлением Телешева, установили связь с командиром полка. В боях на плацдарме Телешев участвовал в отражении 10 вражеских контратак.

Указом Президиума Верховного Совета СССР Евгению Михайловичу Телешеву 23 октября 1943 года было присвоено зва­ние Героя Советского Союза.

После войны Телешев продолжил службу в армии. В 1947 году он окончил Киевское военное училище связи. С 1960 -  подполковник запаса.

Жил в Минске (Белоруссия), работал военруком в школе № 82.

Награжден орденом Ленина, орденом Красной Звезды, орденом Отечественной войны I степени, медалями.

Умер 29 марта 1997 года, похоронен в Минске.