Родился в деревне Старобелово Беловского района. В 1939 году Алексей, окончив школу-семилетку, поступает в железнодорожное училище. По окончании Беловского ГПТУ №5 в 1942 году, он работал слесарем на станции Шарья Костромской области.

В августе 1942 года А.А.Котегов призван Беловским райвоенкоматом в ряды Рабоче-крестьянской Красной Армии (РККА). Окончил военное пехотное училище. В августе 1943 года Котегов прибыл на фронт и был назначен командиром пулеметного взвода. Воевал на Степном, Втором Украинском фронтах.

Советские войска готовились форсировать Днепр. В районе села Дериевка Онуфриевского района Кировоградской области пулеметному взводу Котегова была поставлена задача на плотах и других подручных средствах переправиться на остров на середине реки. На рассвете 29 сентября 1943 года, заняв на острове выгодную позицию, взвод открыл пулеметный огонь по противнику. Дружный огонь гвардейцев заставил фашистов прижаться к земле. Группа уничтожила 38 гитлеровцев и два станковых пулемета. Когда выбыл из строя наводчик,  Алексей Котегов  сам лёг за пулемёт и уничтожил 80 фашистов, обеспечив высадку на берег наших частей.

Наступление продолжалось. 17 октября 1943 года стрелковый батальон, в который входил взвод Котегова, натолкнулся на сильное сопротивление при штурме высоты у деревни Лиховка.  Алексей уничтожил из своего пулемёта ещё 75 фашистов и три огневые точки. В этом бою был тяжело ранен разрывной пулей и 21 октября 1943 года скончался в медсанбате.

Звание Героя Советского Союза присвоено 22 февраля 1944 года  (посмертно).

Приказом министра обороны СССР от 22 января 1960 года младший лейтенант Котегов навечно зачислен в списки 282-го гвардейского мотострелкового полка.

Имя Героя носит улица в городе Белово (Новый городок). В 1966 году именем Героя названо профессиональное училище №5 города Белова (ныне Беловский многопрофильный техникум), где учился Алексей. 

В городе Кострома на площади Мира стоит Монумент Славы. На нём  - мемориальные доски с фамилиями Героев Советского Союза Костромского края. На одной из табличек выбита фамилия младшего лейтенанта Алексея Александровича Котегова.